Entropie

Mit diesem Programm kann die beobachtet werden, wie sich die Entropie für ein System mit statistischen Änderungen im Laufe der Zeit entwickelt. Insbesondere sind die zeitlichen Fluktuationen der Entropie und ihre Zunahme im Laufe der Zeit leicht zu beobachten. Das Beispiel orientiert sich an einem Gasvolumen, bei dem sich anfangs alle Teilchen in der linken Hälfte befinden. Konkret wird ein Rechteck mit nx*ny Kästchen betrachtet, bei dem jedes Kästchen zwei Zustände einnehmen kann, dargestellt in blau bzw. weiß. Nach dem Starten vertauschen fortwärend zufällig ausgewählte Kästchen paarweise ihre Eigenschaft. Die Entropie das Gesamtsystems wird aus der Anzahl der Mikrozustände N pro Makrozustand berechnet. Dazu wird aus der Anzahl blauer Kästchen in der linken Hälfe (n1) bzw. rechten Hälfte (n2) und der Gesamtzahl der Teichen n=n1+n2 der Logarithmus von N berechnet.: n*ln(n)-n1*ln(n1)-n2*ln(n2). Dies ist eine Näherung für N = n!/(n1!*n2!). Die Entropie S=kB*ln(N) ergibt sich daraus durch Multiplikation mit der Boltzmannkonstanten (kB=1.38*10-23J/K).

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Bedienung

Wählen Sie die Anzahl der Kästchen in x-Richtung (nx) und y-Richtung (ny) und passen Sie ggf. den Zoom für die Darstellung an. Als Startbedingung kann man zwischen "Alle links" und "Gradient" und "Zufällig" wählen. Diese Auswahl legt die Art der Verteilung zu Beginn der Rechnung fest. Beachte: nur im ersten Fall ist die Zahl der blauen Kästchen genau nx*ny/2, in den übrigen Fällen gilt dies nur näherungsweise. Unter Tauschmöglichkeit kann gewählt werden, ob nur Vertauschen der Eigenschaft unter Nachbarn (wie bei der Diffusion und Wärmeleitung) oder zwischen zwei beliebigen Kästchen zugelassen wird. Mit "Rechengeschwindigkeit" wird eingestellt wie viele Vertauschungen (1 bis 10000) zwischen zwei Darstellungen durchgeführt werden. Mit Start wird die Rechnung gestartet. Durch setzen eine Häkchens bei "Entwicklung darstellen" wird ein Fenster geöffnet, in dem die zeitliche Entwicklung der Entropie dargestellt wird. Die Zeitskala ist so gewählt, dass eine Vertauschung pro µs stattfindet. Die dargestellte Funktion Entropie/kB als Funktion von der Zeit kann als Graphik gespeichert und gedruckt werden.

Numerische Realisierung

Es werden nur Kastchen paarweise vertauscht und für die aktuellen Zustände die Entropie d.h. ln(N) berechnet. Der Ausdruck N=n!/(n1!*n2!) wird mit Hilfe der Näherung von Stirling ausgewertet: ln(N)=n*ln(n)-n1*ln(n1)-n2*ln(n2). Die Zunahme der Entropie ergibt sich von selbst dadurch, dass das System auf seinen wahrscheinlichsten Zustand zusteuert.