Abgeschlossene Forschungsprojekte und Dissertationen
Schröder (heute Römer), Bettina Anna Barbara (Dissputation am 15.05.2019)
Ausgezeichnet mit GACM Award for the Best PhD Thesis
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Anwendbarkeit höhergenauer Zeitintegrationsverfahren sowie den dazugehörigen Fehlerschätzern auf die dynamische (Visko)plastizität im Bereich kleiner und großer Deformationen. In diesem Zusammenhang wird ein allgemeines elasto(visko)plastisches Problem definiert, welches auf orts- und zeitabhängigen Variationsungleichungen und Variationsgleichungen basiert. Mit dieser Definition werden ganzheitliche Lösungsstrategien entwickelt, die die (Visko)plastizität bei großen und kleinen Deformationen als Ein- oder Mehrfeldproblem betrachten. Während für Variationsgleichungen ein Newton- Raphson Verfahren angewendet wird, werden für Variationsungleichungen die Vorteile halbglatter Newton Verfahren ausgenutzt. Beide Strategien benötigen jedoch spezielle Linearisierungstechniken. Zu diesem Zweck wird eine räumliche Diskretisierung, welche ein semidiskretes Gleichungssystem liefert, mittels der Finiten Elemente Methode unter Verwendung kontinuierlicher und diskontinuierlicher Ansätze durchgeführt. Danach findet das Konzept der Gâteaux Ableitung beziehungsweise das der generalisierten Gradienten Anwendung, um das allgemeine elasto(visko)pastische Problem in eine linearisierte semidiskrete Form zu überführen. Um daraus schließlich ein lineares Gleichungssystem zu generieren, muss zusätzlich noch eine Zeit- diskretisierung angewendet werden. Dazu werden verschiedene höhergenaue Zeitintegratoren wie zum Beispiel das Newmark Verfahren, voll und diagonal implizite Runge-Kutta Verfahren sowie kontinuierliche und diskontinuierliche Galerkin Methoden eingesetzt.
Des Weiteren wird in dieser Arbeit eine klassische Betrachtungsweise der dynamischen (Visko)- plastizität im Bereich kleiner und großer Deformationen dargelegt und in das Lösungskonzept des allgemeinen elasto(visko)plastischen Problems eingebettet. Der konventionelle Ansatz basiert auf der Idee die Impulsbilanz schwach zu formulieren und die Materialgleichungen der (Visko)- plastizität nur indirekt zu berücksichtigen. Das Verschiebungsfeld wird an Finiten Element Knoten bestimmt, während (visko)plastische Größen nur am Integrationspunkt ermittelt werden. Daher muss eine separate Zeitintegration des Beschleunigungsterms in der Impulsbilanz sowie der Materialgleichungen realisiert werden. Eine adequate Kopplung beider Ebenen erfolgt mittels des Radial Return Map Algorithmus. Damit geht jedoch die Limitierung auf gewisse Zeitintegratoren einher.
Im Gegensatz dazu wird eine alternative Mehrfeldformulierung hergeleitet. Zu diesem Zweck wird das Prinzip von Jourdain erweitert. Die Idee dahinter ist, die Energiebilanz bestehend aus der kinetischen, inneren und äußeren Energie sowie einem Potential, welches dissipativen Effekten Rechnung trägt, als ein Raten abhängiges Funktional anzunehmen. Die Gleichungen der Elasto(visko)plastizität bei kleinen und großen Deformationen stellen dann die stationäre Stelle dieses Funktionals dar. Demzufolge können die Materialgleichungen und die Bilanzgleichungen gleichzeitig an Finiten Element Knoten gelöst werden. Somit ist nur noch eine einzige Zeitintegration durchzuführen. Eine größere Freiheit bei der Wahl der Zeitintegratoren ist die Folge und die Anwendung höhergenauer Verfahren wird erleichtert.
Die Analyse und der Vergleich der klassischen und der Mehrfeldformulierung erfolgt im Zuge verschiedener Beispiele unter Berücksichtigung von großen und kleinen Deformationen. In diesem Kontext wird ein dynamisches Benchmarkproblem entwickelt, welches mit einer begrenzten Anzahl an räumlichen Freiheitsgraden auskommt und es so ermöglicht den Fokus auf die Effekte höhergenauer Zeitintegratoren zu legen. Für die damit einhergehenden Untersuchungen werden eine Vielzahl von verschiedenen Fehlerschätzern formuliert, ausgewertet und verglichen. Letztendlich werden die wichtigsten Ergebnisse zusammengefasst und offen gebliebene Fragestellungen werden thematisiert.
Hartkorn, Torsten (Dissputation am 28.01.2019)
Der vorliegende Beitrag stellt eine höhergenaue Formulierung der Fluid-Struktur-Interaktion vor. Hierbei werden die geometrisch nichtlineare Elastodynamik und die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen gekoppelt. Die Formulierung der Fluiddynamik auf einem bewegten Raumgebiet erfordert die zusätzliche Beschreibung der Netzdynamik als weiteres Feld. Auf Basis einer konsistenten Linearisierung erfolgt die räumliche Diskretisierung mit Finiten Lagrange-Elementen höherer Ordnung, wobei die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen zuvor um Stabilisierungsterme erweitert werden. Zur zeitlichen Diskretisierung werden steifgenaue diagonal-implizite Runge-Kutta-Verfahren eingesetzt. Die Abschätzung des Fehlers erfolgt über eingebettete Fehlerindikatoren. In ausgewählten Beispielen wird die Genauigkeit und Stabilität der monolithischen Gesamtformulierung aufgezeigt.
Gleim, Tobias (Dissputation am 12.09.2016)
Ausgezeichnet mit GACM Award for the Best PhD Thesis
Der vorliegende Beitrag behandelt die numerische Simulation von Mehrfeldproblemen im Kontext von funktional gradierten Werkstoffen. Im Rahmen des SFB/TR TRR30 wurden funktional gradierte Werkstoffe untersucht, die in einer integrierten Prozesskette hergestellt worden sind. Diese Prozesskette untergliedert sich in die induktive Erwärmung, die Umformung und die gleichzeitige Kühlung einer Stahlwelle sowie das gezielte Abkühlen in lokal definierten Bereichen mit einem Hochdruckluftstrom. Das gezielte lokale Aufheizen und Abkühlen in festdefinierten Zeitintervallen kontrolliert dabei die räumliche Gitterstruktur und führt folglich dabei zu speziellen anwendungsorientierten Eigenschaften im Stahl. Diese Eigenschaften werden funktionsabhängig entschieden und können sehr genau lokal zugeführt werden.
Um diese gezielten Eigenschaften nicht immer wieder erneut experimentell untersuchen zu müssen, sollen im Vorlauf diese Eigenschaften in einer Simulation untersucht werden. An dieser Stelle ist es von entscheidender Bedeutung, dass hochgenaue Simulationen im Raum und in der Zeit durchgeführt werden. Um dabei auch wirtschaftlich effizient und weiterhin hochgenau zu bleiben, müssen verschiedene Techniken untersucht werden. In dieser Arbeit werden dahingegen für den ersten Schritt, die induktive Erwärmung, und für den dritten Schritt der Prozesskette, die Abkühlung, entsprechende Modelle und Methoden entwickelt, welche im Detail studiert und untersucht werden.
Durch die nichtlinearen Materialeigenschaften der Stahlwelle müssen entsprechende phänomenologische Materialmodelle herangezogen werden. Im Kontext der induktiven Erwärmung führen diese nichtlinearen Materialeigenschaften zu einer starken Kopplung des elektromagnetischen Feldes mit dem thermischen Feld. Mit Hilfe einer allgemeinen Herleitung der Maxwell Gleichungen und der thermischen Gleichung kann das Mehrfeld-Anfangsrandwertproblem formuliert werden, sodass sämtliche Interaktionen der beteiligten Felder in den Bilanzgleichungen und den konstitutiven Gesetzten berücksichtigt werden können. In Vorbereitung auf die numerische Lösung des Mehrfeld- Anfangsrandwertproblems werden die Bilanzen der starken Form in eine räumlich schwache Form überführt sowie aufgrund der Nichtlinearität bezüglich der Feldvariablen linearisiert. Die numerische Lösung dieser Problemstellung wird mit der Finite-Elemente- Methode, verschiedenen Zeitintegrationsverfahren und der Newton-Raphson-Iteration bewerkstelligt. Die Finite-Elemente-Diskretisierung in Tensornotation erlaubt die stan- dardisierte Elementformulierung für ein-, zwei- und dreidimensionaler Kontinua. Mittels einer p-Version der Finite-Elemente-Methode können unter der Berücksichtigung klassischer Lagrange-Ansatzfunktionen beliebig dimensionale und unterschiedliche Polynomgrade der einzelnen Bilanzgleichungen des allgemeinen Mehrfeldproblems gewählt werden. Im Rahmen der Zeitintegration des nichtlinearen Anfangsrandwertproblems erster und zweiter Ordnung werden dabei das generalisierte Newmark-α Verfahren, die Familie der Runge-Kutta Verfahren sowie das diskontinuierliche und kontinuierlicheGalerkin Zeitintegrationsverfahren vorgestellt. Alle Zeitintegrationsverfahren haben dabei verschiedene Stärken, welche an den jeweiligen Beispielen analysiert und untersucht werden. Für die Abschätzung des Fehlers werden entsprechende allgemeine Fehlerschätzer und spezielle Fehlerschätzer der einzelnen Verfahrensklassen vorgestellt und untersucht. Diese Fehlerschätzer bilden die Grundlage, entsprechend der Runge-Kutta und Galerkin Zeitintegrationsverfahren, hochgenaue Simulationsergebnisse zu erzielen. Zusätzlich kann unter Verwendung verschiedener adaptiver Techniken die Zeitschrittweite angepasst werden, um neben der hohen Genauigkeit auch effizient zu bleiben. Durch die sequentielle Umsetzung der räumlichen und zeitlichen Integration können die numerischen Verfahren modular abgerufen werden. Dafür werden Algorithmenschemen vorgestellt, die eine große Bandbreite von Element-, Modell- und Materialroutinen sowie unterschiedliche Zeitintegrationsverfahren zulassen.
Im Zuge der induktiven Erwärmung werden ein monolithischer Ansatz und verschiedene partitionierte Ansätze mit einem linearen, wie auch einem nichtlinearen Modell vorgestellt und untersucht. Der Vorteil hierbei ist die Vergleichbarkeit in Bezug auf Robustheit, Genauigkeit und Effizienz. Alle Parameter müssen im Einklang stehen, um realitätsnahe Simulationen durchführen zu können. Im Rahmen der Abkühlung wird ein rein partitionierter Ansatz gewählt. Dabei wird zusätzlich zum thermischen Feld auch das Fluid-Feld, welches in zwei unterschiedlichen Programmen gelöst wird und in zwei verschiedenen Programmiersprachen mit unterschiedlichen räumlichen Diskretisierungsmethoden erstellt wurde, mittels einer zusätzlichen Bibliothek (CTL - Component Template Library) und einem Masterprogram gekoppelt. Die Wärmeleitungsgleichung wird mit Hilfe der Finite- Elemente-Methode gelöst und das Finite-Volumen-Verfahren wird für die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen angewendet. Diese Bibliothek bietet den Vorteil, die ver- schiedenen Programme auf verschiedenen Computern ausführen zu lassen. Durch den Einsatz des Masterprogramms können die zwei verschiedenen Programmecodes unter der Verwendung verschiedener Kopplungsstrategien und deren unterschiedlicher Eigenschaften miteinander verbunden werden. Abhängig von den gewünschten Eigenschaften und Zielen kann dafür ein Block-Jacobi-Verfahren oder ein Block-Gauss-Seidel-Verfahren herangezogen werden. Während bei der induktiven Erwärmung das Temperaturfeld sowie die elektromagnetischen Felder in einem volumengekoppelten Verfahren gelöst werden, wird hingegen bei der thermischen Fluid-Struktur-Interatkion eine Randkopplung zwischen dem thermischen Feld und dem Fluid-Feld durchgeführt.
Wie bereits in der Literatur bekannt, benötigen gerade Fluid-Struktur- Interaktionsprobleme, die partitioniert untersucht werden, sehr viele Fixpunktiterationen pro Zeitschritt. Dies führt dazu, dass außergewöhnlich viel Rechenzeit benötigt wird. Hierfür werden verschiedene Relaxationsverfahren, wie auch Extrapolationsverfahren im Rahmen einer reinen thermischen Fluid-Struktur-Interaktion zur Reduzierung der Fixpunktiterationen pro Zeitschritt untersucht. Die Effekte beider Techniken werden sowohl separat als auch gekoppelt analysiert. Um gleichzeitig hochgenau und adaptiv in der Zeit zu rechnen, werden alle vorgestellten Extrapolationsverfahren in einer adaptiven Variante hergeleitet, vorgestellt und untersucht. Diese allgemeine Formulierung bietet die Möglichkeit, die verschiedenen Extrapolationsverfahren unabhängig von einem Zeitintegrationsverfahren in einen bestehenden Code zu implementieren.
Anhand verschiedener Beispiele werden die eingeführten numerischen Verfahren jeweils für die Einzelfelder (elektrisch, magnetisch und thermisch), wie auch für das Mehrfeldprob- lem der induktiven Erwärmung untersucht und analysiert. Kopplungsstrategien für die induktive Erwärmung sowie für die thermische Fluid-Struktur-Interaktion werden im Detail studiert. In beiden Teilen der Prozesskette steht dabei die hohe Genauigkeit im Raum mit Hilfe der p-Finite-Elemente-Methode und in der Zeit mit Hilfe der Runge-Kutta und der Galerkin Zeitintegrationsverfahren sowie die effiziente Lösung unter Berücksichtigung spezieller Fehlerschätzer und adaptiver Zeitschrittsteuerungen im Vordergrund.
Fleming, Wagner (Dissputation am 30.11.2012)
Carstens, Sönke (Dissputation am 28.08.2012)
Die Konstruktion leichter, transportabler Strukturen, die schnell auf- und abzubauen sind, wie beispielsweise im Messebau üblich, stellt eine immer größer werdende Herausforderung an den planenden Ingenieur dar. Einerseits sollen diese Strukturen möglichst transparent und filigran ausgeführt werden, andererseits gelten gerade für solche ”fliegenden Bauten” extrem hohe Sicherheitsanforderungen. Um so wichtiger ist es, im Vorfeld eine genaue Tragwerksanalyse durchzuführen.
In der vorliegenden Arbeit sollen verschiedene Verfahren zur numerischen Analyse von Tensegrity-Strukturen untersucht und auf ein reales Tragwerk angewandt werden. Tensegrities sind Leichtbaukonstruktionen, die aus Druckgliedern bestehen, die mittels vorgespannter Seile verbunden sind. Die einzelnen Druckglieder berühren sich dabei gegenseitig nicht. Mithilfe von Messungen gilt es, im Nachgang die Simulationen auf Grundlage der Finite Elemente Methode und unterschiedlicher numerischer Zeitintegrationsverfahren beliebiger Genauigkeit, sowie die vorhergesagten Eigenschaften experimentell zu verifizieren.
Um Tragwerksanalysen durchführen zu können, muss die Geometrie des Bauwerks zunächst bekannt sein. Genau dieses Auffinden der Geometrie ist die Herausforderung bei tensegren Strukturen. Da diese Seil-Druckstab-Konstruktionen einzig durch ihre eingeprägten Vorspannungen überhaupt Steifigkeit entwickeln und so in der Lage sind, Kräfte aufzunehmen und abzutragen, muss in einem ersten Schritt eine Formfindung durchgeführt werden. Zu diesem Zweck werden drei numerische Formfindungsmethoden speziell für Tensegrities vorgestellt und untersucht. Im Weiteren werden diese Methoden zum Design und zur Analyse eines tensegren Messestands herangezogen und mit Messungen an einem Prototypen auf ihre Praxistauglichkeit untersucht.
Carstens, Sandra (Dissputation am 29.05.2012)
Das Ziel dieser Arbeit liegt in der Entwicklung und Untersuchung einer robusten und effizienten numerischen Lösungsmethodik für zeitveränderliche Transportprozesse. Diese Methodik soll insbesondere in den Bereichen der Umwelttechnik zur Simulation von Ausbreitungsprozessen von Schadstoffen, der Lebensdauer von Baustoffen unter Umwelteinflüssen und der Wärmeleitung sowie der thermomechanischen Prozessführung bei der Herstellung gradierter Materialien stabile und genaue Prognosen der jeweiligen Transportvorgänge ermöglichen. Dazu werden zunächst die zugehörigen Modellannahmen skizziert und die Modellbildungen entwickelt, die abschließend in ein generalisiertes Transportmodell münden.
Zu Referenzzwecken werden die klassischen Diskretisierungstechniken der Strukturmechanik im Raum und in der Zeit vorgestellt. Im Rahmen der sequenziellen Lösungsstrategie sind dies die kontinuierliche Finite Elemente Methode (FEM) im Raum und die für Transportprozesse modifizierte Newmark-α-Methode zur zeitlichen Diskretisierung der semidiskreten Bilanz. Die bewährte p-FEM liefert robuste und akkurate Lösungen im Hinblick auf glatte Problemstellungen. Nachteilig wirken sich die genannten klassischen numerischen Verfahren allerdings auf nichtglatte Anfangs- oder Randbedingungen aus, sodass in vorliegender Arbeit zur Abhilfe innovative räumliche und zeitliche Diskretisierungstechniken vorgestellt werden.
Als Alternativen zur differenzenbasierten Newmark-Zeitintegration werden die Familien der Runge-Kutta-Verfahren und der Galerkin-Zeitintegratoren präsentiert, die beide auf einer integralen Auswertung der semidiskreten Bilanz im Zeitschritt basieren. Die Galerkin-Verfahren lassen sich in Abhängigkeit der Kontinuität der Zustandsgrößen an den Zeitelementgrenzen in diskontinuierliche bzw. kontinuierliche Versionen unterteilen. Diese Lösungsmethodiken beider Familien werden im Hinblick auf ihre Eignung im Rahmen der robusten Simulation nicht-glatter Transportprobleme untersucht und analysiert sowie hinsichtlich ihrer Genauigkeit, Fehlerbetrachtung und Adaptionsfähigkeit beleuchtet.
Zur räumlichen Diskretisierung von konvektionsfreien transienten Transportprozessen werden in dieser Arbeit als Alternative zur klassischen Finite Elemente Methode zwei Varianten der diskontinuierlichen Galerkin-Methoden diskutiert, die die Robustheit der Finite Volumen Verfahren und die hohe Genauigkeitsordnung der Finite Elemente Methoden in sich vereinen. Sowohl die nicht-symmetrische innere Penalty Galerkin-Methode als auch die lokale diskontinuierliche Galerkin-Methode nutzen zur Approximation des Lösungsraums diskontinuierliche stückweise Polynome. Die interelementäre Kontinuität zwischen den Elementgrenzen wird dabei durch sogenannte numerische Flüsse gewährleistet, deren Generierung die Herausforderung zum Gelingen der jeweiligen diskontinuierlichen Methode darstellt.
Alle vorab genannten robusten Diskretisierungstechniken zur zeitlichen und räumlichen Gebietserfassung bieten je nach Art der Problemstellung Vorteile in Bezug auf die numerische Lösung von Transportprozessen im Vergleich zur herkömmlichen sequenziellen Diskretisierungsstrategie mithilfe der FEM und dem Newmark-Verfahren. Die Benefits liegen bespielsweise in hoch genauen Konvergenzraten, in hervorragenden Eigenschaften im Hinblick auf Robustheit und Oszillationsverhalten oder in der Adaptionsfähigkeit ohne Einhaltung von Konformitätsbedingungen.