Geometrie von Nanokohlenstoff-Strukturen

Zur geometrischen Konstruktion von selbstähnlichen, auf Kohlenstoffnanoröhrchen basierenden Strukturen mit Hilfe von nichtlinearen Transformationen skalierbarer Grundbausteine

C. Schröppel, J. Wackerfuß

Die Konstruktion von Nanokohlenstöffröhrchen (CNTs) und von Strukturen höherer Ordnung, die auf Nanokohlenstoffröhrchen basieren, kann konzeptionell als iterativer Prozess verstanden werden, in dem die Bindungen zwischen Kohlenstoffatomen durch Nanokohlenstoffröhrchen ersetzt werden. Dieser intuitive Ansanz bietet jedoch keine systematische Methode, die Y-förmigen Verbindungsstücke, die zur Verbindung der Nanokohlenstoffröhrchen notwendig sind, zu konstruieren.

Es ist hingegen möglich, solche Konfigurationen mit Hilfe nichtlinearer Transformationen von skalierbaren Grundbausteinen zu konstruieren. Mit Hilfe dieses Ansatzes kann beispielsweise ein Nanokohlenstoffröhrchen der Ordnung 0 durch sukzessive Anwendung linearer und nichtlinearer Transformationen einer Kohlenstoff-Kohlenstoff-Bindung aufgebaut werden. Ein Nanokohlenstoffröhrchen der Ordnung 1 kann wiederum aus auf Graphene basierenden Grundelementen, also Strukturen der Ordnung 0, konstruiert werden. Insbesondere können Grundelement einer gegebenen Ordnung stets verwendet werden, um Grundelemente, die der nächsthöheren Ordnung angehören, so dass mit diesem Verfahren Konfigurationen beliebiger Ordnung konstruiert werden können.

Die in den folgenden Abschnitten eingebundenen Videosequenzen illustrieren das hier vorgestellte Verfahren.

Videosequenz 1 beschreibt die Konstruktion eines Y-förmigen Nanoröhrchen-Verbindungsstücks, das sich an den Enden zu vollständig ausgeformten Nanoröhrchen fortsetzt. Im ersten Schritt des Verfahrens wird eine ebene Graphene-Schicht aus einer gedachten Hälfte einer Kohlenstoff-Kohlenstoff-Bindung aufgebaut (Schritt 1). Nach der Konstruktion der Graphene-Schicht werden die meisten virtuellen Punkte (in rot angezeigt) bei dem Prozess der Verbindung von je zwei Hälften der Kohlenstoff-Kohlenstoff-Bindungen wieder entfernt. Einige der virtuellen Punkte bleiben jedoch bestehen – diese Punkte können als Verbindungsstellen dienen, an denen weitere Verbindungsstücke angefügt werden können, um Konfigurationen höherer Ordnung zu konstruieren, oder sie können zusammen mit den Teilstücken der Bindungen am Ende der Konstruktion der gewünschten Konfiguration entfernt werden.

Anschließend wird die Graphene-Schicht eine Abfolge von nichtlinearen Transformationen unterworfen. Das Ziel der nichtlinearen Streckung (Schritt 3), Verbiegung (Schritt 4) und Stauchung (Schritt 5) ist es, alle Punkte der Schicht, die sich zu Beginn des Schritts 3 auf der grau eingeblendeten Ebene befinden, so abzubilden, dass sie sich am Ende des Schritts 5 wieder auf der selben Ebene befinden. Die ermöglicht es, mit Hilfe der folgenden Schritte des Verfahrens, die lediglich aus orthogonalen Transformationen, also Spiegelungen (Schritt 6) und Drehungen (Schritt 7 und 8), bestehen, ein monolithisches Verbindungsstück höherer Ordnung aufzubauen.
 

Videosequenz 2 zeigt, wie ein auf Nanokohlenstoffröhrchen basierendes Verbindungsstück der Ordnung 1 aus dem Einheitselement der Ordnung 0 aufgebaut werden kann. Dieses Einheitselement resultiert aus Schritt 5 des 1. Teils des Konstruktionsverfahrens (siehe Videosequenz 1). Unter Verwendung der gleichen Transformationen wie in Teil 1 (mit einzelnen Korrekturen auf Grund des Größenunterschied der Elemente) wird in den Schritten 1 bis 5 eine Einheitselement der Ordnung 1 konstruiert. Dieses Einheitselement dient seinerseits als Ausgangspunkt der Konstruktion des Nanotube-Verbindungsstücks der Ordnung 1. Ebenso wie bei dem Nanotube-Verbindungsstück der Ordnung 0 können die verbleibenden virtuellen Punkte (in rot angezeigt) verwendet werden, um zwei (oder mehrere) Verbindungsstücke monolithisch aneinander zu fügen.

Publikation

Schröppel, C & Wackerfuß, J 2012, 'Algebraic graph theory and itsapplications for mesh generation', PAMM Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics, Volume 12, S. 663-664.