Localization phenomena & FEM

J. Wackerfuß

In the field of material research, the term 'localization' represents processes which are characterized by a concentration of inelastic deformations in narrow zones within solids; beyond these zones, pure elastic behaviour can normally be observed. The appearance of this phenomenon depends primarily on the specific characteristics of the material. Under experimental conditions, the following kinds of localizations can be observed: shear bands in ductile materials, slip surfaces in granular materials and cracks in brittle materials.

A continuum mechanical description based on standard stress-strain constitutive equations including strain-softening is not suitable to describe localization phenomena, since the type of the partial differential equations governing the problem changes when the localization appears; this finally leads to an ill-posed boundary value problem. In this case a finite-element calculation reveals that there is a pathological dependency of the results on the spatial discretization.

In this research project different models for the regularization of this problem are presented. In addition to extended continuum theories, which are primarily based on the consideration of a characteristic length in the material model, discontinuous models have also been investigated. They interpret the localization zone as a singular surface inside the body which contains certain kinematic discontinuities. With the help of numerical tests, a regularizing effect of the models which were tested could be demonstrated. The results did not reveal the presence of any pathological dependency on the chosen spatial discretization.

Bei der Beschreibung von strukturmechanischen Lokalisierungsphänomenen mit diskontinuierlichen Modellen wird das Verschiebungsfeld in einen kontinuierlichen und einen diskontinuierlichen Anteil zerlegt. Zur Approximation des Letztgenannten werden im Rahmen einer Finite-Element-Formulierung spezielle Ansatzfunktionen benötigt. Die Wahl dieser Ansatzfunktionen ist für den Charakter des jeweiligen Verfahrens verantwortlich. Im Allgemeinen wird zwischen der Methode der eingebetteten Diskontinuitäten und der erweiterten Finite-Element-Methode (XFEM) unterschieden. Während die zusätzlichen Unbekannten bei der erstgenannten Methode auf Elementebene herauskondensiert werden können, müssen diese bei der zweitgenannten Methode als globale Knotenwerte berücksichtigt werden. Eine geeignete Finite-Element-Formulierung muß grundsätzlich zu einer stabilen Berechnung führen, bei der die numerischen Ergebnisse mit zunehmender Diskretisierungsdichte – unabhängig von der gewählten Orientierung des Elementnetzes – gegen eine feste Lösung konvergieren.

Bei experimentellen Untersuchungen an metallischen Körpern werden beim Überschreiten eines kritischen Beanspruchungszustandes sogenannte Scherbänder (Lüdersbänder) beobachtet. In der nebenstehenden Abbildung werden die Ergebnisse einer numerischen Simulation einer vertikal gestauchten Metallscheibe in animierter Form dargestellt. Im Rahmen der Finite-Element-Berechnung wurden unterschiedliche räumliche Diskretisierungen untersucht. Dabei wurde sowohl die Anzahl als auch die Orientierung der Elemente variiert. Stellvertretend werden hier die verformten Netze für unterschiedliche Beanspruchungszustände für ein strukturiertes (links) und ein unstrukturiertes (rechts) Elementnetz dargestellt. Farblich ist jeweils die dazugehörige vertikale Komponente des Verschiebungsfeldes angegeben. Unabhängig vom gewählten Elementnetz ist deutlich das sich diagonal entwickelnde Scherband zu erkennen, das sich beim Überschreiten einer bestimmten Beanspruchung plötzlich einstellt.

Kontinuierliche Modelle (continuous models):

Bei experimentellen Untersuchungen von sprödem Materialverhalten werden nach dem Überschreiten einer Grenzbeanspruchung das Entstehen und Wachsen von Mikrorissen beobachtet. Beim Einsatz von kontinuumsmechanischen Modellen zur Beschreibung von Lokalisierungsphänomenen auf makroskopischer Ebene werden derartige Risse nicht diskret, sondern kontinuierlich beschrieben. Kontinuierliche Modelle gründen im Wesentlichen auf der Annahme einer erweiterten klassischen Kontinuumstheorie, die durch einen erweiterten Satz von unabhängigen Variablen gekennzeichnet ist, wodurch letztendlich ein Maß für die Dicke der Lokalisierungszone eingeführt wird.

• Eine Möglichkeit der Regularisierung bietet der Einsatz von ratenabhängigen Materialmodellen. Im Rahmen des Projektes wurde die freie Energiefunktion zur Beschreibung eines schädigenden (ratenunabhängigen) Materialverhaltens durch einen viskosen (ratenabhängigen) Term erweitert, dem lediglich die Aufgabe der numerischen Stabilisierung bzw. Regularisierung zugewiesen wird. Zur Vermeidung ungewollter Überspannungen ist es notwendig die Beanspruchung im Rahmen einer inkrementellen Laststeigerung nicht linear, sondern treppenförmig zu steigern. Anhand der numerischen Simulation eines eindimensionalen Zugversuches soll die Wirkungsweise des Verfahrens erläutert werden. Die in den folgenden Abbildungen dargestellten (globalen) Last-Verschiebungskurven zeigen, daß das ratenunabhängige Modell (basierend auf der klassischen Kontinuumsmechanik) für unterschiedliche Elementdiskretisierungen eine starke Netzabhängigkeit im post-kritischen Bereich aufweist (links), während die relaxierte Lösung des stabilisierten Modells (viskose Stabilisierung), unabhängig von der gewählten Diskretisierung, die exakte Lösung wiedergibt. Die relaxierte Lösung ist dabei durch einen Zustand des vollständigen Abbaus der (viskosen) Überspannungen gekennzeichnet, den es nach jeder Lasterhöhung – durch eine ausreichend lange Relaxationszeit – zu erreichen gilt. Es ist darauf hinzuweisen, daß die regularisierende Wirkung des Verfahrens sehr stark von der Wahl der Viskositätsparameter abhängig ist.

• Eine alternative Möglichkeit der Regularisierung ist durch die Erweiterung des klassischen Kontinuumsmodells im Sinne eines mikropolaren Kontinuums gegeben. Während im Rahmen einer klassischen Kontinuumstheorie (Boltzmann-Kontinuum) jedem materiellen Punkt drei Translationsfreiheitsgrade zugeordnet werden, werden bei der mikropolaren Kontinuumstheorie (Cosserat-Kontinuum) zusätzlich noch 3 Rotationsfreiheitsgrade berücksichtigt. In den folgenden Diagrammen sind die Ergebnisse unterschiedlicher Finite-Element-Simulationen für einen einfachen Schubversuch an einer metallischen Scheibe gegenübergestellt. Im linken Bild sind die globalen Last-Verschiebungskurven für ein Plastizitätsmodell mit linearer isotroper Verfestigung für unterschiedliche Diskretisierungen dargestellt. Man erkennt, daß mit zunehmender Diskretisierungsdichte die Ergebnisse gegen eine feste Lösung konvergieren; dies gilt sowohl für das Boltzmann- als auch für das Cosserat-Modell. Ein grundsätzlich anderes Verhalten wird für das Plastizitätsmodell mit linearer isotroper Entfestigung erzielt. Während die Ergebnisse des Cosserat-Modells mit zunehmender Diskretisierungsdichte gegen eine feste Lösung konvergieren, ist dies beim Boltzmann-Modell nicht der Fall; hier erhält man eine starke Abhängigkeit der numerischen Ergebnisse von der gewählten räumlichen Diskretisierung. In diesem Fall wird die Berechnung numerisch instabil und bricht teilweise nach wenigen Lastschritten ab. Anhand weiterer numerischer Untersuchungen wurde festgestellt, daß die regularisierende Wirkung des Modells sehr stark von der Wahl der zusätzlichen (Cosserat-) Materialparameter abhängig ist, die ihrerseits einen starken Einfluß auf das elastische bzw. vor-kritische Tragverhalten besitzen.

Wackerfuß, J.: Numerische Beschreibung von Lokalisierungsphänomenen unter Berücksichtigung von diskontinuierlichen Verschiebungen, In N. Gebbeken, K.-U. Bletzinger, H. Rothert (editor): Aktuelle Beiträge aus Baustatik und Computational Mechanics, pp. 109–122, Universität der Bundeswehr München, Berichte aus dem Konstruktiven Ingenieurbau [03/3], 2003

Wackerfuß, J.: Theoretische und numerische Beiträge zur Beschreibung von Lokalisierungsphänomenen in der Strukturmechanik, Dissertation, Shaker-Verlag, Juni 2005