Forschungsprojekte

Viele inelastische Materialien können unter quasistatischen Lasten als ratenunabhängig angesehen werden. Beispiele hierfür sind elasotplastische Verformungen in duktilen Materialien oder das Risswachstum in spröden Werkstoffen. Oft sind die entsprechenden Energiefunktionale nicht konvex. Das ist beispielsweise in der Kristallplastitzität für hinreichende große latente Verfestigung der Fall, oder auch bei vielen Phasenfeldmodellen zur Beschreibung von Schädigung. Auf Grund dieser Nichtkonvexität sind die inneren Variablen, die die inelastischen Effekte beschreiben, unstetig in der Zeit. Dies stellt eine große Herausforderung sowohl in der mathematischen Analysis als auch in numerischen Simulationen dar.Ratenunabhängige Modelle werden sowohl aus mechanischer als auch aus mathematischer Sicht seit langem untersucht. Die Beiträge in diesen beiden Bereichen haben sich jedoch nahezu unabhängig voneinander entwickelt. Einerseits wurden in den letzten zwanzig Jahren verschiedene mathematische Lösungskonzepte, wie beispielsweise globale energetische Lösungen und Viskositätslösungen, für ratenunabhängige Systeme entwickelt, die jeweils unstetige Lösungen zulassen. Diese Lösungskonzepte sind jedoch nicht äquivalent und es ist essenziell, die physikalisch sinnvollste Lösung zu identifizieren. Darüber hinaus basieren viele der mathematischen Konvergenzresultate auf mechanischen Modellen mit starken Vereinfachungen (aus physikalischer Sicht). Andererseits wurden Konvergenzfragen und die zuvor erwähnten unterschiedlichen mathematischen Lösungskonzepte in mechanischen/numerischen Arbeiten bisher nicht gezielt untersucht. Ein allgemeiner physikalisch fundierter und mathematisch gerechtfertigter Rahmen, der verschiedene numerische Strategien mit den verschiedenen Lösungsbegriffen in Verbindung bringt, fehlt. Das Ziel dieses Projekts ist es, diese Lücke zwischen den beiden Bereichen Mechanik und Mathematik zu schließen.Da die Anzahl der ratenunabhängigen Modelle sehr groß ist, wird im Rahmen dieses Projekts als eine Prototypklasse Schädigungs- und phasenfeldartige Rissausbreitungsmodelle gewählt. Dabei sollen zum einen Modelle, die in einem der beiden Bereiche Mechanik bzw. Mathematik etabliert sind aus Sicht des anderen Bereichs analysiert werden. Ferner sollen Verfahren, die ursprünglich für andere ratenunabhängige Modelle entwickelt wurden, auf Schädigungsmodelle übertragen und analysiert werden. Einige der auftretenden Fragen lassen sich im Rahmen der Gamma-Konvergenz für zeitabhängige Systeme interpretieren. Diese Theorie soll daher speziell für Viskositätslösungen weiterentwickelt werden. Die Zusammensetzung des Projektteams (Mechanik in Dortmund und Angewandte Analysis in Kassel) spiegelt die große Bandbreite der angesprochenen Themen wider (Modellierung, Simulation, numerische Analysis, rein mathematische Fragen).

Ziel des SPP 2256 ist die Schaffung eines Forschungsnetzwerks unter Beteiligung von Experten aus Mathematik und den Ingenieurwissenschaften, um neuartige mathematische Variationsmethoden mit einer breiten Anwendbarkeit zu entwerfen und ihre Leistungsfähigkeit an ausgewählten Problemen aus der Mechanik sowie den Materialwissenschaften zu demonstrieren. Das Schwerpunktprogramm bietet eine hervorragende Basis, die Zusammenarbeit zwischen diesen Disziplinen zu fördern und dient dazu, bestehende und neue Kooperationen in Deutschland zu intensivieren und zu entwickeln. Es wird die Forschung auf diesem Gebiet in Deutschland nachhaltig und international weitreichend beeinflussen und voranbringen. Das Forschungsprogramm ist dabei in drei übergeordnete Forschungsrichtungen gegliedert: (A) Kopplung der Dimensionen; da in vielen Systemen ist ein starkes Wechselspiel von Wirkungen auf Strukturen mit unterschiedlicher Dimensionalität zu beobachten ist. (B) Kopplung von Prozessen; die Gesamtreaktion vieler Materialien hängt entscheidend von wechselwirkenden Prozessen ab, die auf verschiedenen Skalen von atomistischen oder nanoskaligen bis hin zu makroskopischen Größenordnungen stattfinden. (C) Kopplung von Struktur und Entwicklung; eine große Herausforderung ist die Kombination aus der Vorhersage von Strukturen auf der Grundlage energetischer Überlegungen und der Entwicklung dieser Strukturen als Reaktion auf dynamische Belastungen.

Das Projekt hat die Analysis, Simulation und Optimierung ratenunabhängiger Systeme mit nichtkonvexer Energie zum Ziel. Viele Systeme der Kontinuumsmechanik verhalten sich näherungsweise ratenunabhängig. Ein Beispiel hierfür sind Schädigungsprozesse in spröden Materialien. Die zugehörigen Modelle liegen in Form von Evolutionsvariationsungleichungen vor und basieren auf einem positiv homogenen, konvexen Dissipationsfunktional und einem Energiefunktional. Ist das Energiefunktional ebenfalls konvex, so sind die Lösungen typischerweise eindeutig und zeitstetig. Ratenunabhängige Systeme mit nichtkonvexen Energien, wie beispielsweise Schädigungsmodelle, führen im Gegensatz dazu auf zahlreiche mathematische Herausforderungen: Lösungen sind in der Regel unstetig in der Zeit und es gibt mehrere verschiedene Lösungsbegriffe mit jeweils anderen Sprungbedingungen. Oft sind Lösungen auch innerhalb eines Lösungsbegriffs nicht eindeutig. Sowohl die numerische Simulation als auch die Optimierung ratenunabhängiger Modelle mit nicht-konvexer Energie stellen daher eine große Herausforderung dar.Das Projekt widmet sich diesen Fragestellungen auf Basis des in den letzten Jahren entwickelten Konzepts der Balanced-Viscosity-(BV)-Lösungen, welches eine detaillierte Charakterisierung der Zeit-Unstetigkeiten ermöglicht. Die Existenz solcher Lösungen lässt sich über eine viskose Regularisierung des Systems und einen anschließenden Viskositätslimes nachweisen, wobei bisher meist angenommen wird, dass die Daten zeitlich glatt sind.Im Projekt sollen drei Linien verfolgt werden: Wir beabsichtigen, die Existenztheorie auf unstetige Daten auszuweiten und verfeinerte analytische Eigenschaften (z.B. Kompaktheitseigenschaften) der Lösungsmengen herzuleiten. Ferner sollen robuste numerische Verfahren für diesen Lösungstyp entwickelt und deren Konvergenz und Praktikabilität nachgewiesen werden. Schließlich sollen geeignte Optimierungsaufgaben formuliert und analysiert werden.Es ist geplant, zur numerischen Berechnung von BV-Lösungen zeit-inkrementelle lokale Minimierungsmethoden zu verwenden und zeit-adaptive Strategien zu entwickeln. Erste numerische Simulationen sind vielversprechend. Jedoch ist eine rigorose Konvergenzanalyse bislang nur unter sehr einschränkenden Voraussetzungen bekannt, die im Fall von Schädigungsmodellen nicht erfüllt sind. Darüber hinaus wurden zeit-adaptive Verfahren für dieses Lösungskonzept bislang nicht untersucht. Hinsichtlich der Optimierung ist noch weitaus weniger bekannt. Insbesondere die Approximation optimaler Lösungen über viskose Regularisierungen ist ein offenes Problem.Im beantragten Projekt wollen wir uns diesen offenen Fragen widmen und auf diese Weise einen theoretisch fundierten Rahmen zur Simulation und Optimierung ratenunabhängiger Systeme mit nicht-konvexer Energie erarbeiten. Als prototypische Anwendung dient die Schädigung spröder Materialien.

Das beantragte Projekt hat die optimale Steuerung dissipativer Materialien zum Ziel. Unser Ausgangspunkt ist ein thermodynamisch konsistentes Materialmodell, welches sowohl Schädigungseffekte als auch Thermo-Elastoplastizität berücksichtigt. Eine moderne Lösungstheorie für derartige Systeme mit raten-unabhängigen Komponenten bilden sogenannte Balanced-Viscosity-Lösungen, deren Existenz sich über eine viskose Regularisierung mit anschließendem Viskositätslimes beweisen lässt. Im Rahmen des Projekts beabsichtigen wir, die Optimierung von Schädigungsprozessen und thermo-plastischen Verformungsprozessen unter diesem Lösungsbegriff zu untersuchen. Neben der Existenz optimaler Steuerungen ist vor allem die Approximierbarkeit lokal optimaler Lösungen mittels viskoser Regularisierung von Interesse. Die raten-abhängigen, viskosen Probleme haben eine eigene physikalische Bedeutung und sind selber nicht-glatt in dem Sinne, dass der zugehörige Steuerungs-Zustands-Operator im Allgemeinen nicht Gateaux-differenzierbar ist. Darüber hinaus dienen sie als Basis zur Entwicklung eines effizienten Optimierungsalgorithmus in Form eines Bundle-Verfahrens im Funktionenraum. Zu dessen Anwendung sollen auf Basis von Richtungsableitungen Elemente des Clarkeschen Subdifferentials für die viskosen Modellprobleme bestimmt werden. Mit Hilfe eines Pfadverfolgungsansatzes für verschwindende Viskosität lassen sich auf diese Weise voraussichtlich sogar optimale Lösungen der raten-unabhängigen Probleme berechnen.