Wie sieht nun also eine Regressionsgrade aus? Da wir eine Gerade annehmen, folgt die Regressionsgleichung der üblichen Form einer Lineargleichung:
y = mx + n ŷi = β1 × xi + β0
Was sind nun aber Regressionskoeffizienten und wie überprüft man sie auf Verallgemeinerbarkeit?
Auch zur Überprüfung der Verallgemeinerbarkeit der Regressionskoeffizienten ist ein Signifikanztest nötig. Anstelle des F-Tests benötigen wir für die Koeffizienten jedoch den t-Test mit der t-Verteilung.
1. Für die Regressionskoeffizienten gilt:
H0: β = 0 und
H1: β ≠ 0 .
2. Wir testen mit der T-Verteilung. Der kritische T-Wert tkrit kann unter Berücksichtigung der Freiheitsgrade (df = n - 2) aus der T-Tabelle abgelesen werden. Der empirische T-Wert temp ermittelt sich aus:
3. Als Irrtumswahrscheinlichkeit nehmen wir 5% an, also:
α = 0,05 .
4. Der Ablehnungsbereich von H0 ist:
temp >tkrit .
5. Liegt der empirische T-Wert im Ablehnungsbereich von H0, lehnen wir H0 ab und nehmen den Regressionskoeffizienten als signifikant an. Er ist also auf die Population verallgemeinerbar und sein Effekt kann nun interpretiert werden.
β0 bezeichnet den Wert auf der y-Achse, wenn x = 0 ist. Es meint also den Schnittpunkt mit der y-Achse. Betrachtet man nur den 1. Quadranten des Koordinatensystems, kann man auch vom Startpunkt der Geraden sprechen.
Es handelt sich bei β0 also um die Regressionskonstante. Die Regressionskonstante lässt sich jedoch nicht in jedem Fall sinnvoll interpretieren. Betrachten wir z. B. auf dem Wochenmarkt den durchschnittlichen Effekt der Menge der Äpfel in Gramm auf den Preis, so gibt uns β0 den Preis bei 0 Gramm an.
Bei nicht-metrischen unabhängigen Variablen sieht es jedoch anders aus. Ist unsere uV z. B. nur in "männlich" und "weiblich" unterteilt, lässt sich β0 nicht interpretieren, da es zwischen den beiden Ausprägungen keine konstante Steigung gibt.
Hier ist es sinnvoll, eine der beiden Ausprägungen mit "0" zu codieren, da β0 so den y-Wert für die mit "0" codierte Ausprägung abbildet.β1 bestimmt den Faktor von x1 in der Geradengleichung. Damit beschreibt der Wert von β1 die Steigung in y bei einer Veränderung von einem Achsenabschnitt in x.
Inhaltlich ist β1 also die Veränderung des y-Wertes bei einer Veränderung des x-Wertes. Da wir eine Gerade annehmen, ist diese Veränderung in jedem Punkt gleich.
β1 kann sowohl einen positiven als auch einen negativen Wert annehmen. Ein positiver β1-Koeffizient bedeutet, dass der y-Wert bei einer Verschiebung auf der x-Achse um eins nach rechts steigt. Ein negativer Koeffizient bedeutet, dass der y-Wert bei einer Verschiebung auf der x-Achse um eins nach rechts fällt. Im 1. Fall steigt die Gerade, im 2. Fall fällt sie.
Da wir eine lineare Regression auch mit mehr als einer unabhängigen Variablen durchführen können, haben wir immer auch so viele βi-Koeffizienten wie unabhängige Variablen. Für alle βi-Koeffizienten gelten die obigen Ausführungen gleichermaßen.
Die βi-Koeffizienten geben also inhaltlich die Stärke des Effekts der uV auf die aV an. Haben wir nun aber mehr als einen βi-Koeffizienten und wollen die Effektstärken miteinander vergleichen, so müssen wir die βi-Koeffizienten vergleichbar machen, indem wir sie standardisieren: