MATLAB Toolbox CoSTAR

Continuation of Solution Torus AppRoximations

Sowohl in den theoretischen als auch in den angewandten Wissenschaften werden stationäre Lösungen dynamischer Systeme untersucht. Stationäre Lösungen bezeichnen Lösungstypen, die unendlich lange bestehen bleiben. Am Fachgebiet Technische Dynamik liegt der Fokus auf Gleichgewichtslösungen, periodischen Lösungen und quasiperiodischen Lösungen. Dabei ist es häufig von Interesse, die Eigenschaften und das Verhalten dieser Lösungen in Abhängigkeit eines ausgewählten Systemparameters, des sogenannten Bifurkationsparameters, zu analysieren und darzustellen. Dies ist bei der Untersuchung technischer, physikalischer, chemischer, biologischer und wirtschaftlicher Systeme von Bedeutung.

Zur effizienten numerischen Berechnung stationärer Lösungen in Abhängigkeit eines Systemparameters werden oftmals sogenannte Prädiktor-Korrektor-Verfahren verwendet. Diese Verfahren verfolgen Lösungskurven, die durch ein Nullstellenproblem definiert sind. Etablierte Softwarelösungen zur Kurvenverfolgung nutzen meist einen einzelnen spezifischen Approximationsansatz (z.B. Shooting, Harmonische Balance oder Kollokation), um stationäre Lösungen zu berechnen. Die am Fachgebiet entwickelte MATLAB Toolbox CoSTAR (Continuation of Solution Torus AppRoximations) verfolgt einen modularen Ansatz, bei dem ein Prädiktor-Korrektor-Algorithmus mit verschiedenen Approximationsansätzen kombiniert werden kann. Hierdurch lassen sich verschiedene Methoden sowie deren Lösungen in einem gemeinsamen Framework direkt vergleichen, was insbesondere in der Forschung von Interesse ist. Anwendungsseitig ermöglicht die modulare Struktur die Wahl problemspezifischer Approximationsansätze.

Lösungsbestimmung

Während sich Gleichgewichtslösungen direkt durch das Lösen des definierenden (nicht)linearen Gleichungssystems bestimmen lassen, sind zur Berechnung periodischer und quasiperiodischer Lösungen Approximationsmethoden erforderlich. Derzeit sind Finite-Differenzen-Verfahren, Fourier-Galerkin-Verfahren (d.h. Harmonische Balance) sowie Shooting-Methoden sowohl für periodische als auch für quasiperiodische Lösungen implementiert.

Prädiktor-Korrektor-Verfahren

Beim Prädiktor-Korrektor-Verfahren zur Kurvenverfolgung wird zunächst ein bekannter Kurvenpunkt (d.h. eine bekannte Lösung) vorausgesetzt. Von diesem ausgehend bestimmt der sogenannte Prädiktor ein neuer Punkt in der Nähe der Kurve, was z.B. mithilfe einer lokalen Tangente erreicht werden kann. Der Korrektor nutzt den Prädiktorpunkt anschließend als Startwert für ein Verfahren zur Lösung eines nichtlinearen Nullstellenproblems, um den nächsten Kurvenpunkt (d.h. die nächste Lösung) zu berechnen. Innerhalb der CoSTAR Toolbox wurde der Algorithmus des Prädiktor-Korrektor-Verfahrens so programmiert, dass er unabhängig von der verwendeten Lösungsmethode verwendet werden kann. Darüber hinaus ist eine Schrittweitensteuerung verfügbar, um Lösungskurven effizient verfolgen zu können und um die Konvergenz sicherzustellen.

Stabilitätsberechnung

Zur Bestimmung der Stabilität von Gleichgewichtslösungen, periodischen Lösungen und quasiperiodischen Lösungen sind verschiedene Methoden implementiert.

• Die Stabilitätsuntersuchung von Gleichgewichtslösungen erfolgt direkt mittels der Eigenwerttheorie.
• Bei periodischen Lösungen lässt sich die Stabilität anhand der Floquet-Multiplikatoren beurteilen, welche die Eigenwerte der Monodromiematrix darstellen. Diese Matrix ist bei Verwendung des Shooting-Verfahrens als Nebenprodukt verfügbar. Darüber hinaus ist die CoSTAR Toolbox so programmiert, dass sich die Stabilität einer periodischen Lösung auch bei Verwendung des Finite-Differenzen-Verfahrens oder der Fourier-Galerkin-Methode berechnen lässt.
• Für die Stabilitätsuntersuchung quasiperiodischer Lösungen ist ein ein Verfahren implementiert, welches am Fachgebiet entwickelt wurde. Basierend auf der Methode der Charakteristiken werden hierbei die Lyapunov-Exponenten einer quasiperiodischen Lösung ermittelt und anschließend eine Abbildungsfunktion identifiziert, welche die Entwicklung von Störungen beschreibt. Diese Methodik ist innerhalb des implementierten quasiperiodischen Shooting-Verfahrens verfügbar.

Um den Einstieg in die CoSTAR Toolbox zu erleichtern und um den Umgang zu erlernen, stehen verschiedene Tutorials und Beispielskripte zur Verfügung. Darüber hinaus ist eine Hilfefunktion implementiert, welche die vorhandenen Einstellungen und Optionen erläutert.

Nähere Details zu den Tutorials und der Hilfefunktion können in dem PDF The_MATLAB_Toolbox_CoSTAR auf GitHub eingesehen werden.

Die Toolbox wird laufend weiter entwickelt und soll um weitere Module ergänzt werden. Eine Übersicht über mögliche zukünftige Verbesserungen und Erweiterungen ist in dem PDF The_MATLAB_Toolbox_CoSTAR auf GitHub zu finden. Aktuelle Projekte können unter den GitHub Issues eingesehen werden.