Synchronisation

Die Synchronisation von untereinander interagierenden Prozessen ist ein universelles Phänomen, dass in vielen naturwissenschaftlichen und technischen Disziplinen auftritt. Dynamische Systeme können verschiedene Arten von Lösungen produzieren. Von großer Bedeutung in den technischen Wissenschaften sind periodische Lösungen. Diese treten in der Regel dann auf, wenn ein System einem oder mehreren Anregungsmechanismen unterliegt. Hierbei sind die Fremderrgung, die Selbsterregung und die Parametererrgung von zentraler Bedeutung. Liegen mindestens zwei Mechanismen vor können sogenannte quasi-periodische Lösungen auftreten, welche über ein diskretes Frequenzspektrum verfügen, aber keine endliche Periodendauer aufweisen. Die Berechnung von quasi-periodischen Lösungen als Ganzes, erfordert spezielle Methoden. Hierbei ist zu erwähnen, dass es verschiedene Ansätze gibt, welche unterschiedlich detailliertes Systemwissen erfordern. Im Allgemeinen ist anzustreben, dass für die Berechnungsverfahren selbst, so wenig Systemwissen wie möglich wünschenswert ist. Ein solcher Ansatz ist die sogenannte "Hyper-Time Parametrisierung", welche nur vom Lösungstyp selbst und der Anzahl der sogenannten Basisfrequenzen abhängt.

Bei der Untersuchung von parameterabhängigen Systemen, die quasi-periodische Lösungen zeigen, kann es zur Synchronisation kommen. Diese zeichnet sich dadurch aus, dass sich die Anzahl Basisfrequenzen reduziert. Dies ist von entscheidender Bedeutung, da der Berechnungsansatz von der Anzahl der Basisfrequenzen abhängt und im Moment der Synchronisation seine Validität verliert. Es ist deshalb entscheidend auftretende Synchronisationen detektieren zu können. Leider existiert für quasi-periodische Lösungen keine geschlossene Bifurkationstheorie (z.B. auf Basis von Lyapunov Exponenten), sodass eine Detektion mit Testfunktionen nicht möglich ist.

Als Parametrisierung wird die sogenannte Hyper-Time Parametrisierung verwendet. Diese erlaubt die quasi-periodische Lösung im ganzen und unabhängig von der Lösungsstabilität zu berechnen. Die enstehende partielle Differentialgleichung wird Invarianzgleichung genannt. Diese wird mit Standarddiskretisierungsverfahren, wie z.B. dem finite Differenzen Verfahren, der multifrequenten harmonischen Balance oder dem quasi-periodischen Shooting-Verfahren, gelöst. Aus der Lösung der Invarianzgleichung lassen sich sehr leicht maximale Amplituden identifizieren, welche in den Ingenieurwissenschaften von besonderem Interesse sind. Allerdings ist die Hyper-Time Parametrisierung nur gültig, solange die Anzahl der sogenannten Basisfrequenzen unverändert bleibt. Dies ist besonders wichtig, sollte sich die Lösung synchronisieren.

Es existieren Verschiedene Arten der Synchronisation, abhängig vom System und der gewählten Parameterkombination. Zwei wichtige Fälle sind das sogenannte Frequency Locking und die Unterdrückung der natürlichen Dynamik. Im ersten Schritt soll die Eigenschaft der Lösung untersucht werden und Maße identifiziert werden, anhand derer die bevorstehende Synchronisation der quasi-periodischen Lösungen abgeleitet werden kann. In einem zweiten Schritt, soll die Möglichkeit untersucht werden, auf Basis dieser invarianten Maße Testfunktionen zu definieren, mit denen numerisch die Synchronisation vorhergesagt werden kann. 

• A. Seifert & H. Hetzler. Numerical detection of frequency locking of quasi-periodic solutions. Proceedings of ISMA Conference 2024, Leuven, Belgien
• A. Seifert & H. Hetzler. Numerical detection of suppression of quasi-periodic solutions (2024). Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics - PAMM 2024. doi.org/10.1002/pamm.202400111
• A. Seifert, S. Bäuerle, & H. Hetzler. Numerical detection of synchronisation phenomena in quasi-periodic solutions (2023). Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics - PAMM 2023. https://doi.org/10.1002/pamm.202300235